对康托尔集合论的完善

康托尔集合论有很多悖论，比如希尔伯特酒店悖论。

根源在于皮亚诺自然数公里体系里，少了关于无穷的约定。

第5公理，对于是否允许无穷个自然数相加（或相乘），没有明确，也没有否定。就会导致很多矛盾和悖论。无穷不是累加逼近，而是指操作永不停止。

如果约定，允许无穷个自然数相加（或相乘）的结果仍然是自然数，称之为肯定约定，自然数集合就是真无穷集合。

如果约定无穷个自然数相加（或相乘）的结果不是自然数，称之为否定约定，自然数集合就是伪无穷集合。

在伪无穷假设下，可以用归纳法证明：

自然数与真子集（例如偶数集）之间不能建立一一映射，也会出现希尔伯特酒店悖论。

要建立自然数与偶数的一一映射，必须允许无穷个自然数相加或相乘仍是自然数。

必须增加肯定约定。那么无穷位数也就是自然数了。在肯定约定下，自然数可以与实数建立一一映射。

总结起来，两个命题：

命题1：自然数与实数可以建立一一映射

命题2：自然数与真子集（如偶数集）可以建立一一映射

这个两个命题必须同时成立，或同时不成立。不能只成立一个，而另一个不成里。必须同真共假。

希尔伯特酒店悖论就是没有明确自然数是真无穷集合还是伪无穷集合，从两个不同假设出发，就会产生矛盾。

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